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Nació en Chambéry en 1976, y comenzó sus estudios en el Conservatorio Nacional Superior de Música de Paris. Por invitación de Claudio Abbado, en 1997 fue concertino de la Gustav Mahler Jugendorchester, trabajando con con Boulez, Ozawa, Welser-Möst y Abbado. Desde entonces se ha consolidado como un solista de primer nivel tocando con las orquestas más destacadas como Berliner Philharmoniker, Wiener Philharmoniker, New York Philharmonic. Colabora con directores como Barenboim, Bychkov, Dénève, Dudamel, Harding, Paavo Järvi, Mäkelä, Shani, Sokhiev, Ticciati, Long Yu y van Zweden.
En su temporada 2026/27 se incluyen conciertos con la Orchestre Philharmonique de Radio France y Jaap van Zweden, San Francisco Symphony y Elim Chan, Royal Concertgebouw Orchestra, Boston Symphony Orchestra, Münchner Philharmoniker, y ofrecerá el estreno mundial del doble concierto para violín de Glanert con Midori y la Gewandhausorchester Leipzig.
Como músico de cámara colabora con Argerich, Barenboim, Bashmet, Buniatishvili, Grimaud, Fujita, Soltani, Yo-Yo Ma y Yuja Wang, siendo invitado a los festivales de Lucerna, Verbier, Aix-en-Provence, Roque d’Anthéron, San Sebastián, Stressa o Salzburgo. Esta temporada ofrecerá junto a Mao Fujita la integral de las sonatas de Beethoven para violín y piano atendiendo al aniversario del compositor.
Desde 2021, es Director Artístico de la Orchestre de Chambre de Lausanne, donde se presenta como director y solista. Esta temporada realizará una gira europea junto a Martha Argerich para celebrar el aniversario de Beethoven. Recientes compromisos como director incluyen a la Wiener Symphoniker, Karajan-Academy of the Berliner Philharmoniker, Chamber Orchestra of Europe, Gürzenich Orchester Köln, Luxembourg Philharmonic Orchestra, y Orchestre National du Capitole de Toulouse. La 2026/27 incluye además su debut como director con la Toronto Symphony, y Deutsches Symphonie-Orchester Berlin en la Philharmonie Berlin, y regresará a la Hungarian Radio Symphony Orchestra.
Capuçon ha representado a Francia en algunos de los eventos más prestigiosos a nivel internacional como en la ceremonia de reinauguración de la Catedral de Notre Dame en Paris junto con su hermano el violonchelista Gautier Capuçon.
Su última grabación ha sido en el 2026 con la Integral de sonatas y partitas para violín solo de J.S.Bach coincidiendo con el 50 Aniversario de Capuçon.
Capuçon toca el Guarneri del Gesù "Panette" (1737), que perteneció a Isaac Stern.