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Nació en Chambéry en 1976, y comenzó sus estudios en el Conservatorio Nacional Superior de Música de Paris, continuando en Berlín. Por invitación de Claudio Abbado, en 1997 fue concertino de la Gustav Mahler Jugendorchester, trabajando con directores como Boulez, Ozawa, Welser-Möst y Abbado. Desde entonces se ha consolidado como un solista de primer nivel tocando con las orquestas más destacadas como Berliner Philharmoniker, Wiener Philharmoniker, New York Philharmonic. Colabora con directores como Barenboim, Bychkov, Dénève, Dudamel, Harding, Paavo Järvi, Mäkelä, Shani, Sokhiev, Long Yu y Van Zweden.
En la temporada 25/26 destacan conciertos en el Carnegie Hall, gira europea con la Budapest Festival Orchestra e Iván Fischer, y su regreso con Gewandhausorchester Leipzig, Staatskapelle Berlin y Bayerischen Rundfunks. Además, como director invitado realizará una gira con la Orquesta de Cámara de Europa, conciertos con la Orquesta Filarmónica de Luxemburgo y la Orquesta Nacional de Mulhouse, así como debuts con la Hamburg Symphony Orchestra, Orchestre Philharmonique Royal de Liège, y la Orchestra of St. Luke’s, en el Carnegie Hall.
Como músico de cámara colabora con Argerich, Barenboim, Bashmet, Buniatishvili, Grimaud, Pires, Soltani, Trifonov, Yo-Yo Ma y Yuja Wang, siendo invitado a los festivales de Lucerna, Verbier, Aix-en-Provence, Roque d’Anthéron o Salzburgo.
Desde 2021 es Director Artístico de la Orchestre de Chambre de Lausanne, donde se presenta como director y solista. Además ha dirigido a la Wiener Symphoniker, Gürzenich Orchester Köln y la Orchestre National du Capitole de Toulouse. También es Director Artístico de los Sommets Musicaux de Gstaad desde 2016, el Festival de Pascua en Aix-en-Provence, que fundó en 2013, y, más recientemente, el Festival Réncontres Musicales en Evian desde 2023.
Posee una extensa discografía. En 2022 fichó con Deutsche Grammophon y, lanzó su primer álbum junto a Martha Argerich. En 2025 salió su último CD con obras de Richard Strauss, entre dos grabaciones junto a la Wiener Symphoniker bajo la dirección de Petr Popelka, y una lectura de Ein Heldenleben con la Gustav Mahler Jugendorchester, liderada por Capuçon y bajo la batuta del fallecido Seiji Ozawa.
Capuçon toca el Guarneri del Gesù "Panette" (1737), que perteneció a Isaac Stern.